Một số ước lượng cho thể tích và độ suy tàn của tích phân dao động - Tạ, Lê Lợi (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2024)
Đặt vấn đề: Cho f : K — R^n. Khi f là ánh xạ sub-giải tích liên tục và K compact, bất đẳng thức Holder-Lojasiewicz cho đánh giá ||f(x)-f(y)|| < C|| x-y ||Aa, với mọi x,y e K, với c, a là các số dương nào đó. về mặt hình học, có thể xem bất đẳng thức trên cho ước lượng của độ dài ảnh cùa họ các đoạn qua ánh xạ f. Ngoài ra, với điều kiện nào đó của f, ta cũng có ước lượng thể tích tập dưới mức của f dạng: Vol({ X e K: ||f(x)|| < t }< C’tAP = C’ length([O,t])Ap. Các bất đẳng thức nêu trên gợi ý quan tâm đến các bài toán sau: 1. Ước lượng thể tích của ảnh hay nghịch ảnh cùa một ánh xạ đối với các họ mặt k-chiều thông qua thể tích của họ đó. 2. Đánh giá chặn trên cho độ suy tàn cùa tích phân dao động trong đó hàm pha f là sub-giải tích hay định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu. 3. Tính các số mũ trong số hạng đầu tiên của khai triển tiện cận của thể tích và số điểm nguyên chứa trong tập dưới mức. 4. Thê tích tập dưới mức và diện tích tập mức là hừu hạn và chúng có mổi quan hệ chặt với nhau. Chúng tôi quan tâm nghiên cứu môi quan hệ này thông qua dạng Leray-Gelfand. Ngoài ra, mối liên hệ giữa độ suy tàn của tích phân dao động kiểu trong Bài toán 2 và lược đồ Newton của f cũng là chù đề thú vị đòi hỏi sự nghiên cứu sâu sắc.